Question

设函数f(x)=x+

a

x+1

，  x∈[0，+∞)．
（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）当0＜a＜1时，试判断函数f（x）的单调性，并证明．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，将函数f（x）变形成f(x)=x+

2

x+1

=x+1+

2

x+1

-1，然后利用均值不等式即可求出函数f（x）的最小值；
（2）先取值任取0≤x₁＜x₂然后作差f（x₁）-f（x₂），判定其符号即可判定函数f（x）在[0，+∞）上的单调性．

解答：解：（1）当a=2时，f(x)=x+

2

x+1

=x+1+

2

x+1

-1．（2分）
≥2

2

-1．（4分）
当且仅当x+1=

2

x+1

，即x=

2

-1时取等号，
∴f(x)min=2

2

-1．（6分）
（2）当0＜a＜1时，任取0≤x₁＜x₂f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[1-

a

(x1+1)(x2+1)

]．（8分）
∵0＜a＜1，（x₁+1）（x₂+1）＞1，
∴1-

a

(x1+1)(x2+1)

＞0．（10分）
∵x₁＜x₂，∴f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[0，+∞）上为增函数．（12分）

点评：本题主要考查了函数的最值的求解，以及函数单调性的判断与证明，同时考查了计算能力，属于基础题．