Question

5．已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$（t为参数），C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=6cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）；
（1）C₁，C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？
（2）若C₁上的点P对应的参数t=$\frac{π}{2}$，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3\sqrt{3}+\sqrt{3}t}\\{y=-3-t}\end{array}\right.$（t为参数）距离的最小值；
（3）若Q为曲线C₂上的动点，求Q到直线C₃距离的最小值和最大值；
（4）已知点P（x，y）是曲线C₁上的动点，求2x+y的取值范围；
（5）若x+y+a≥0恒成立，（x，y）在曲线C₁上，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）消去参数化为普通方程，然后判断图形．
（2）求出QP的中点坐标，利用点到直线的距离求解，通过两角和与差的三角函数以及三角函数的最值求解即可．
（3）借助（2）利用三角函数的最值求解即可．
（4）利用三角函数的最值化简求解即可．
（5）利用函数的恒成立求解最值，推出a的范围即可．

解答 解：（1）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$，消去参数t，可得：（x+4）²+（y-3）²=1，表示以（-4，3）为圆心，1为半径的圆．
C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=6cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，消去参数θ；可得：$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．表示焦点在x轴的椭圆．
（2）若C₁上的点P对应的参数t=$\frac{π}{2}$，可得P（-4，4），Q为C₂上的动点，Q（6cosθ，2sinθ），
PQ的中点（-2+3cosθ，2+sinθ）．
PQ中点M到直线C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3\sqrt{3}+\sqrt{3}t}\\{y=-3-t}\end{array}\right.$（t为参数）即$x+\sqrt{3}y+6\sqrt{3}=0$距离为：$\frac{|-2+3cosθ+\sqrt{3}（2+sinθ）+6\sqrt{3}|}{\sqrt{1+3}}$=$\left|\sqrt{3}sin（θ+\frac{π}{3}）+4\sqrt{3}-1|$，
它的最小值：3$\sqrt{3}-1$；
（3）Q为C₂上的动点，Q（6cosθ，2sinθ），
PQ的中点（-2+3cosθ，2+sinθ）．
PQ中点M到直线C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3\sqrt{3}+\sqrt{3}t}\\{y=-3-t}\end{array}\right.$（t为参数）即$x+\sqrt{3}y+6\sqrt{3}=0$距离为：$\frac{|-2+3cosθ+\sqrt{3}（2+sinθ）+6\sqrt{3}|}{\sqrt{1+3}}$=$\left|\sqrt{3}sin（θ+\frac{π}{3}）+4\sqrt{3}-1|$，
它的最小值：3$\sqrt{3}-1$；
最大值：5$\sqrt{3}-1$；
（4）已知点P（x，y）是曲线C₁上的动点，P（-4+cost，3+sint），
2x+y=-8+2cost+3+sint=-5+sint+2cost=$\sqrt{5}$sin（t+θ）-5，其中tanθ=2，
$\sqrt{5}$sin（t+θ）-5∈[-5-$\sqrt{5}$，$-5+\sqrt{5}$]
2x+y的取值范围：[-5-$\sqrt{5}$，$-5+\sqrt{5}$]；
（5）若x+y+a≥0恒成立，可得a≥-x-y恒成立，即a≥（-x-y）_max．
曲线C₁上的动点，P（-4+cost，3+sint），-x-y=-sint-cost+1=-$\sqrt{2}$sin（t+$\frac{π}{4}$）+1≤1+$\sqrt{2}$．
实数a的取值范围[1+$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查函数的恒成立，参数方程与普通方程的互化，三角函数的最值的求法，两角和与差的三角函数的应用，考查转化思想以及计算能力．