Question

8．已知函数f（x）的导函数为f′（x）=ax（x+2）（x-a）（a≠0），若函数f（x）在x=-2处取到极小值，则实数a的取值范围是a＜-2或a＞0．

Answer 1

分析 根据函数导数的定义和性质即可得到结论．

解答 解：由f′（x）=ax（x+2）（x-a）=0（a≠0），
解得x=-2或x=a，
若a=-2，则f′（x）=-2x（x+2）²≤0，此时函数f（x）在x=-2处不取到极小值，故a≠-2．
若a＜-2，由f′（x）＞0得x＜a或-2＜x＜0此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得a＜x＜-2或x＞0此时函数单调递减，即函数在x=-2处取到极小值，满足条件．
若-2＜a＜0，由f′（x）＞0得x＜-2或a＜x＜0此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得-2＜x＜a或x＞0此时函数单调递减，即函数在x=-2处取到极大值，不满足条件．
若a＞0，由f′（x）＞0得x＜-2或0＜x＜a此时函数单调递减，
由f′（x）＜0得-2＜x＜0或x＞a，此时函数单调递增，即函数在x=-2处取到极小值，满足条件．
综上：a＜-2或a＞0，
故答案为：a＜-2或a＞0．

点评 本题主要考查导数和极值的关系，利用导数确定函数的单调性是解决本题的关键．