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8.已知函数f(x)的导函数为f′(x)=ax(x+2)(x-a)(a≠0),若函数f(x)在x=-2处取到极小值,则实数a的取值范围是a<-2或a>0.

分析 根据函数导数的定义和性质即可得到结论.

解答 解:由f′(x)=ax(x+2)(x-a)=0(a≠0),
解得x=-2或x=a,
若a=-2,则f′(x)=-2x(x+2)2≤0,此时函数f(x)在x=-2处不取到极小值,故a≠-2.
若a<-2,由f′(x)>0得x<a或-2<x<0此时函数单调递增,
由f′(x)<0得a<x<-2或x>0此时函数单调递减,即函数在x=-2处取到极小值,满足条件.
若-2<a<0,由f′(x)>0得x<-2或a<x<0此时函数单调递增,
由f′(x)<0得-2<x<a或x>0此时函数单调递减,即函数在x=-2处取到极大值,不满足条件.
若a>0,由f′(x)>0得x<-2或0<x<a此时函数单调递减,
由f′(x)<0得-2<x<0或x>a,此时函数单调递增,即函数在x=-2处取到极小值,满足条件.
综上:a<-2或a>0,
故答案为:a<-2或a>0.

点评 本题主要考查导数和极值的关系,利用导数确定函数的单调性是解决本题的关键.

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