某市为了治理大气环境.尽量控制汽车尾气对空气的污染.减少雾霾．一方面鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者.同时在主城区采取对新车限量上号政策．已知该市2013年年初汽车拥有量为x1=100.第n年(2013年为第1年.2014年为第2年.-)年初的拥有量记为xn.该年度汽车的年增长量yn满足yn=λxn(1-xn200).其中λ为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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某市为了治理大气环境，尽量控制汽车尾气对空气的污染，减少雾霾．一方面鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者，同时在主城区采取对新车限量上号政策．已知该市2013年年初汽车拥有量为x₁=100（单位：万辆），第n年（2013年为第1年，2014年为第2年，…）年初的拥有量记为x_n（单位：万辆），该年度汽车的年增长量y_n（单位：万辆）满足y_n=λx_n（1-

200

），其中λ为常数，且λ∈（0，1）．
（1）若λ=

，问：第几年该市汽车的年增长量y_n最多，最多是多少万辆？
（2）该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内？

考点：数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）依题y_n=

x_n（1-

200

）=-

400

（x_n-100）²+25，由此能求出第一年该市汽车的年增长量y_n最多，最多是25万辆．
（2）由xn+1=xn+λxn(1-

200

)，得按该政策可以将该市汽车总拥有量控制在200万辆内，即x_n≤200．由已知条件利用数学归纳法能证明出该市汽车总拥有量能控制在200万辆内．

解答： 解：（1）依题y_n=

x_n（1-

200

）
=

xn-

xn2

400

（x_n²-200x_n）
=-

400

（x_n-100）²+25
≤25．
当且仅当x_n=100时，取等号，
∴第一年该市汽车的年增长量y_n最多，最多是25万辆．
（2）∵x_n+1=x_n+y_n，∴xn+1=xn+λxn(1-

200

)，
按该政策可以将该市汽车总拥有量控制在200万辆内，即x_n≤200．证明如下：当n=1时，x₁=100，成立．
假设n=k时，x_k≤200成立．
则当n=k+1时，xk+1=xk+λxk(1-

200

)是关于x_k的一个二次函数，
令f（x）=-

200

x2+(1+λ)x，x≤200，
其对称轴x=

100(1+λ)

＞200，
∴f（x）在（0，200）内递减，f（x）＜f（200）=200，即x_k+1≤200．
综上所述，x_n≤200成立．即该市汽车总拥有量能控制在200万辆内．

点评：本题考查数列在生产生活中的实际应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归思想、函数思想的合理运用．

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