【题目】过椭圆的左顶点
作斜率为2的直线,与椭圆的另一个交点为
,与
轴的交点为
,已知
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点
,且与直线
相交于点
,若
轴上存在一定点
,使得
,求椭圆的方程.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(I)根据,设直线方程为
,
确定的坐标,由
确定得到
,
再根据点在椭圆上,求得
进一步即得所求
;
(2)由可设
,
得到椭圆的方程为,
由得
根据动直线与椭圆有且只有一个公共点P
得到,整理得
.
确定的坐标
,
又,
若轴上存在一定点
,使得
,那么
可得,由
恒成立,故
,得解.
试题解析:(1)∵
,设直线方程为
,
令,则
,∴
, 2分
∴ 3分
∵,∴
=
,
整理得 4分
∵点在椭圆上,∴
,∴
5分
∴即
,∴
6分
(2)∵可设
,
∴椭圆的方程为 7分
由得
8分
∵动直线与椭圆有且只有一个公共点P
∴,即
整理得 9分
设
则有
,
∴ 10分
又,
若轴上存在一定点
,使得
,
∴恒成立
整理得, 12分
∴恒成立,故
所求椭圆方程为 13分
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【题目】如图,四棱锥中,底面
为梯形,
底面
,
,
,
,
.
(1)求证:平面
平面
;
(2)设为
上的一点,满足
,若直线
与平面
所成角的正切值为
,求二面角
的余弦值.
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【题目】为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》,某校计划开设八门研学旅行课程,并对全校学生的选课意向进行调查(调查要求全员参与,每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果如下.
图中,课程为人文类课程,课程
为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向,结合上面图表,采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组(以下简称“组
”).
(Ⅰ)在“组”中,选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少?
(Ⅱ)某地举办自然科学营活动,学校要求:参加活动的学生只能是“组”中选择
课
程或课程的同学,并且这些同学以自愿报名缴费的方式参加活动. 选择
课程的学生中有
人参加科学营活动,每人需缴纳
元,选择
课程的学生中有
人参加该活动,每人需缴纳
元.记选择
课程和
课程的学生自愿报名人数的情况为
,参加活动的学生缴纳费用总和为
元.
①当时,写出
的所有可能取值;
②若选择课程的同学都参加科学营活动,求
元的概率.
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【题目】如图,在四棱锥中, 底面
为菱形,
平面
,点
在棱
上.
(Ⅰ)求证:直线平面
;
(Ⅱ)若平面
,求证:
;
(Ⅲ)是否存在点,使得四面体
的体积等于四面体
的体积的
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆:
(
)与
轴交于
,
两点,
为椭圆
的左焦点,且
是边长为2的等边三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
交于
,
两点,点
关于
轴的对称点为
(
与
不重合),则直线
与
轴交于点
,求
面积的取值范围.
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【题目】根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
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【题目】我校举行的 “青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛.为了了解本次比赛成绩情况,从中抽取了50名学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题:
组别 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | [50,60) | 8 | 0.16 |
第2组 | [60,70) | a | ▓ |
第3组 | [70,80) | 20 | 0.40 |
第4组 | [80,90) | ▓ | 0.08 |
第5组 | [90,100] | 2 | b |
合计 | ▓ | ▓ |
(1)求出的值;
(2)在选取的样本中,从成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会,求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率;
(3)根据频率分布直方图,估计这50名学生成绩的众数、中位数和平均数。
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