Question

6．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），P为椭圆上的顶点，且∠PF₁O=45°（O为坐标原点）．
（1）求a，b的值；
（2）已知直线l₁：y=kx+m₁与椭圆交于A，B两点，直线l₂：y=kx+m₂（m₁≠m₂）与椭圆交于C，D两点，且|AB|=|CD|．
①求m₁+m₂的值；
②求四边形ABCD的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件推出b=c=1，求出a，即可得到椭圆的标准方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．（ⅰ）联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+{m_1}}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，消去y得：$（{1+2{k^2}}）{x^2}+4k{m_1}x+2{m_1}^2-2=0$$（{1+2{k^2}}）{x^2}+4k{m_1}x+2{m_1}^2-2=0$，利用判别式以及韦达定理，求出弦长|AB|，|CD|，通过|AB|=|CD|，推出m₁+m₂=0．
（ⅱ）由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则$d=\frac{{|{{m_1}-{m_2}}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，得到$d=\frac{{|{2{m_1}}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，求出三角形的面积表达式，路基本不等式求解即可．

解答 解：（1）因为F₁（-1，0），∠PF₁O=45°，所以b=c=1．…（2分）
故a²=2．所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
（ⅰ）由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+{m_1}}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$消去y得：$（{1+2{k^2}}）{x^2}+4k{m_1}x+2{m_1}^2-2=0$，
$（{1+2{k^2}}）{x^2}+4k{m_1}x+2{m_1}^2-2=0$
△=（4km₁）²-4（2m₁²-2）（1+2k²）=8（1+2k²-m₁²）＞0
x₁+x₂=$-\frac{4k{m}_{1}}{1+2{k}^{2}}$，
x₁x₂=$\frac{2{{m}_{1}}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$…（6分）
所以$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
=$2\sqrt{2}\frac{{\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{2{k^2}-{m_1}^2+1}}}{{1+2{k^2}}}$
同理$|{CD}|=2\sqrt{2}\frac{{\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{2{k^2}-{m_2}^2+1}}}{{1+2{k^2}}}$…（9分）
因为|AB|=|CD|，
所以$2\sqrt{2}\frac{{\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{2{k^2}-{m_1}^2+1}}}{{1+2{k^2}}}=2\sqrt{2}\frac{{\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{2{k^2}-{m_2}^2+1}}}{{1+2{k^2}}}$．
得${m_1}^2={m_2}^2$，又m₁≠m₂，所以m₁+m₂=0．…（10分）
（ⅱ）由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，
则$d=\frac{{|{{m_1}-{m_2}}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$．…（11分）
又m₁≠m₂，所以$d=\frac{{|{2{m_1}}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
所以$S=|{AB}|•d=4\sqrt{2}\frac{{\sqrt{（2{k^2}-{m_1}^2+1）{m_1}^2}}}{{1+2{k^2}}}$…（13分）
$≤4\sqrt{2}\frac{{\frac{{2{k^2}-{m_1}^2+1+{m_1}^2}}{2}}}{{1+2{k^2}}}=2\sqrt{2}$．…（14分）
（或$S=4\sqrt{2}\sqrt{-{{（\frac{{{m_1}^2}}{{1+2{k^2}}}-\frac{1}{2}）}^2}+\frac{1}{4}}≤2\sqrt{2}$）
所以，当$2{k^2}-{m_1}^2+1={m_1}^2$时，四边形ABCD的面积S取得最大值为$2\sqrt{2}$．…（15分）

点评 本题考查椭圆的方程的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．