Question

如图，椭圆C：的顶点为A₁，A₂，B₁，B₂，焦点为F₁，F₂，，
，
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设n为过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)由知，①
由知a=2c，②
又b²=a²-c²，
由①，②，③解得a²=4，b²=3，
故椭圆C的方程为。
(Ⅱ)设A，B两点的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，
假设使成立的直线l存在，
(ⅰ)当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，
由l与n垂直相交于P点且，得，
即，
由得，
将y=kx+m代入椭圆方程，得(3+4k²)x²+8kmx+(4m²-12)=0，
由求根公式可得，，
0=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(kx₁+m)(kx₂+m)=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=(1+k²)x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²，
将④，⑤代入上式并化简得(1+k²)(4m²-12)-8k²m²+m²(3+4k²)=0，
将m²=1+k²代入⑥并化简得-5(k²+1)=0，矛盾，即此时直线l不存在；
(ⅱ)当l垂直于x轴时，满足的直线l的方程为x=1或x=-1，
则A，B两点的坐标为或，，
当x=1时，；
当x=-1时，，
∴此时直线l也不存在；
综上可知，使成立的直线l不存在。