Question

已知函数f(x)=x²+2x+alnx(a∈R)，
(1)当a=-4时，求f(x)的最小值；
(2)若函数f(x)在区间(0，1)上为单调函数，求实数a的取值范围；
(3)当t≥1时，不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：(1)f(x)=x²+2x-41nx(x＞0)，f′(x)=2x+2-，
当x＞1时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，
∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
∴f(x)_min=f(1)=3．
(2)，
若f(x)在(0，1)上单调递增，则2x²+2x+a≥0在x∈(0，1)上恒成立
在x∈(0，1)上恒成立，
令u=-2x²-2x，x∈(0，1)，则，，
∴a≥0；
若f(x)在(0，1)上单调递减，则2x²+2x+a≤0在x∈(0，1)上恒成立；
综上，a的取值范围是(-∞，-4]∪[0，+∞)．
(3)(2t-1)²+2(2t-1)+aln(2t-1)≥2t²+4t+2alnt-3恒成立，
a[ln(2t-1)-21nt]≥-2t²+4t-2a[ln(2t-1)-lnt²]≥2[(2t-1)-t²]，
当t=1时，不等式显然成立；
当t＞1时，t²-(2t-1)=t²-2t+1=(t-1)²＞0t²＞2t-1lnt²＞ln(2t-1)
在t＞1时恒成立，
令，即求u的最小值，
设A(t²，lnt²)，B(2t-1，ln(2t-1))，，
且A、B两点在y=lnx的图象上，
又∵t²＞1，2t-1＞1，
故0＜k_AB＜，
∴，故a≤2，
即实数a的取值范围为(-∞，2]。