Question

已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x-1被圆C所截得的弦长为2

2

．
（1）求过圆心且与直线l垂直的直线m方程；
（2）点P在直线m上，求以A（-1，0），B（1，0）为焦点且过P点的长轴长最小的椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）先确定圆的圆心坐标，再根据直线l：y=x-1确定直线的斜率，从而可求过圆心且与直线l垂直的直线m方程；
（2）设B关于直线m对称的点的坐标为Q（3，2），则|PB|=|PQ|，故|PA|+|PB|=|PA|+|PQ|≥|AQ|，从而可求以A（-1，0），B（1，0）为焦点且过P点的长轴长最小的椭圆的方程．

解答：解：（1）根据题意画出图形，如图所示，
直线l：y=x-1被圆C所截得的弦的端点分别为B，Q，
设弦BQ的中点为H，在直角三角形BCH中，∠HBC=45°，|BH|=

1

2

|BQ|=

2

，
∴|BC|=2，即圆C的半径为2，
∴圆心C的坐标为（3，0），
∴过圆心且与直线l垂直的直线m方程为：y=-（x-3），即x+y-3=0．
（2）设B关于直线m对称的点的坐标为Q（x，y）
∴

x+1 2 + y 2 -3=0 y x-1 =1

，∴

x=3 y=2

∴Q（3，2），则|PB|=|PQ|，故|PA|+|PB|=|PA|+|PQ|≥|AQ|=2

5

，
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∴2a=2

5

，2c=2
∴b²=4
∵椭圆方程为

x2

5

+

y2

4

=1

点评：本题重点考查直线与椭圆的方程，考查点关于直线的对称问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．