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设p>0是一常数,过点Q(2p,0)的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B,以线段AB为直经作圆H(H为圆心),试证抛物线顶点在圆H的圆周上;并求圆H的面积最小时直线AB的方程。
解:由题意,直线AB不能是水平线,故可设直线方程为:
又设,则其坐标满足
消去x得
由此得
因此,即
故O必在圆H的圆周上
又由题意圆心H()是AB的中点,故

由前已证,OH应是圆H的半径,且
 
从而当k=0时,圆H的半径最小,亦使圆H的面积最小
此时,直线AB的方程为:x=2p。
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