Question

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=a_n²+a₁，M={a∈R|n∈N*，|a_n|≤2}．
（1）当a∈（-∞，-2）时，求证：a∉M；
（2）当a∈（0，

1

4

]时，求证：a∈M；
（3）当a∈（

1

4

，+∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）如果a＜-2，由题设条件知|a₁|=|a|＞2，a∉M．
（2）由题高级条件知当0＜a≤

1

4

时，|an|≤

1

2

（?n≥1）．由数学归纳法可以证出对任意n∈N^*，|a_n|≤

1

2

＜2，所以a∈M．
（3）当a＞

1

4

时，a∉M．由题设条件可以推导出an+1-a=an+1-a1≥n(a-

1

4

)．当n＞

2-a

a- 1 4

时，an+1≥n(a-

1

4

)+a＞2-a+a=2，由此可知a_n+1＞2，因此a∉M．

解答：证明：（1）如果a＜-2，则|a₁|=|a|＞2，a∉M．（2分）
（2）当0＜a≤

1

4

时，|an|≤

1

2

（?n≥1）．
事实上，〔i〕当n=1时，|a1|=|a|≤

1

2

．
设n=k-1时成立（k≥2为某整数），
则〔ii〕对n=k，|ak|≤|ak-1|2+a≤(

1

2

)2+

1

4

=

1

2

．
由归纳假设，对任意n∈N^*，|a_n|≤

1

2

＜2，所以a∈M．（6分）
（3）当a＞

1

4

时，a∉M．证明如下：
对于任意n≥1，an＞a＞

1

4

，且a_n+1=a_n²+a．
对于任意n≥1，an+1-an=

a

2 n

-an+a=(an-

1

2

)2+a-

1

4

≥a-

1

4

，
则an+1-an≥a-

1

4

．
所以，an+1-a=an+1-a1≥n(a-

1

4

)．
当n＞

2-a

a- 1 4

时，an+1≥n(a-

1

4

)+a＞2-a+a=2，
即a_n+1＞2，因此a∉M．（10分）

点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要认真审题，仔细解答．