【题目】已知定点 , 为圆 上任意一点,线段 上一点 满足 ,直线 上一点 ,满足 .
(1)当 在圆周上运动时,求点 的轨迹 的方程;
(2)若直线 与曲线 交于 两点,且以 为直径的圆过原点 ,求证:直线 与 不可能相切.
【答案】
(1)解:由 ,直线 上一点 ,满足 ,可得 时线段 的垂直平分线,求出圆 的圆心坐标为 ,半径为 ,得到 ,点Q的轨迹是以F1、F2为焦点,长轴长为 的椭圆,即2a= ,2c= ,∴b= .
所以点Q的轨迹C的方程为:
(2)解:当直线的斜率存在时,设直线l为y=kx+m , A(x1 , y1),B(x2 , y2),联立直线与椭圆的方程,
得 消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.
因为直线与椭圆有两个不同的交点,所以
△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-6)>0,化简得:m2<6k2+3①
由韦达定理得: .
∴ .
∵ ,∴x1x2+y1y2=0,即 ,
整理得m2=2k2+2满足①式,∴d= ,即原点到直线l为的距离是 ,
∴直线l与圆x2+y2=4相交.
当直线的斜率不存在时,直线为x=m , 与椭圆C交点为A(m , ),B(m , )
∵ ,∴ .
此时直线为x= ,显然也与圆x2+y2=4相交.
综上,直线l与定圆E:x2+y2=4不可能相切
【解析】(1)本题最重数形结合的思想,先画出草图,将数据标到图上,使题目清晰化。再根据线段长度之间的关系,得到Q点到F1 , F2两点的距离之和为一定值,且大于F1和F2间的距离,故满足椭圆定义,可知曲线C是一椭圆,即可得到结果。
(2)先根据条件设出直线,联立消元得到一元二次方程,由相交于两点可得;以AB为直径的圆过原点,故可得;,由以上两个条件可得k和m关系,然后用点到直线的距离公式,看原点到直线的距离是否满足证明,即距离不等于2。
【考点精析】利用点到直线的距离公式和椭圆的概念对题目进行判断即可得到答案,需要熟知点到直线的距离为:;平面内与两个定点,的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆,这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.
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【题目】《算法统综》是明朝程大位所著数学名著,其中有这样一段表述:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一”,其意大致为:有一七层宝塔,每层悬挂的红灯数为上一层的两倍,共有381盏灯,则塔从上至下的第三层有( )盏灯.
A.14
B.12
C.10
D.8
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【题目】某厂生产和两种产品,按计划每天生产各不得少于10吨,已知生产产品吨需要用煤9吨,电4度,劳动力3个(按工作日计算).生产产品1吨需要用煤4吨,电5度,劳动力10个,如果产品每吨价值7万元, 产品每吨价值12万元,而且每天用煤不超过300吨,用电不超过200度,劳动力最多只有300个,每天应安排生产两种产品各多少才是合理的?
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【题目】已知过抛物线 的焦点F,斜率为 的直线交抛物线于 两点,且 .
(1)求该抛物线E的方程;
(2)过点F任意作互相垂直的两条直线 ,分别交曲线E于点C,D和M,N.设线段 的中点分别为P,Q,求证:直线PQ恒过一个定点.
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【题目】某科研小组有20个不同的科研项目,每年至少完成一项。有下列两种完成所有科研项目的计划:
A计划:第一年完成5项,从第一年开始,每年完成的项目不得少于次年,直到全部完成为止;
B计划:第一年完成项数不限,从第一年开始,每年完成的项目不得少于次年,恰好5年完成所有项目。
那么,按照A计划和B计划所安排的科研项目不同完成顺序的方案数量
A. 按照A计划完成的方案数量多
B. 按照B计划完成的方案数量多
C. 按照两个计划完成的方案数量一样多
D. 无法判断哪一种计划的方案数量多
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【题目】已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
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