分析 由sinx,cosx的最小正周期为2π,考虑当x∈[0,2π)时,sin(sin(sin(sinx)))<cos(cos(cos(cosx))).成立.分别证明当x=0时,当x=π时,当x=$\frac{3π}{2}$时,当x∈($\frac{3π}{2}$,2π)时,当x∈(π,$\frac{3π}{2}$)时,由正弦函数,余弦函数的函数值的符号可得;证明当x∈(0,$\frac{π}{2}$)时,sinx+cosx<$\frac{π}{2}$,即0<sinx<$\frac{π}{2}$-cosx<$\frac{π}{2}$,运用正弦函数单调性即可得证;再同样证明当x∈($\frac{π}{2}$,π)时,运用单调性即可得证.
解答 证明:由sinx,cosx的最小正周期为2π,
只要证明:当x∈[0,2π)时,sin(sin(sin(sinx)))<cos(cos(cos(cosx))).
当x=0时,sin0=0,cos0=1,不等式的左边=0,右边>0,不等式成立;
当x=π时,sinπ=0,cosπ=-1,不等式的左边=0,右边>0,不等式成立;
当x=$\frac{3π}{2}$时,sin$\frac{3π}{2}$=-1,cos$\frac{3π}{2}$=0,不等式的左边<0,右边>0,不等式成立;
当x∈($\frac{3π}{2}$,2π)时,sinx<0,cosx>0,不等式的左边<0,右边>0,不等式成立;
当x∈(π,$\frac{3π}{2}$)时,sinx<0,cosx<0,不等式的左边<0,右边>0,不等式成立;
当x∈(0,$\frac{π}{2}$)时,sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$)∈(1,$\sqrt{2}$],
即有sinx+cosx<$\frac{π}{2}$,即0<sinx<$\frac{π}{2}$-cosx<$\frac{π}{2}$,
即有sin(sinx)<sin($\frac{π}{2}$-cosx)=cos(cosx),
由sin(sinx)+cos(cosx)<$\frac{π}{2}$,即0<sin(sinx)<$\frac{π}{2}$-cos(cosx)<$\frac{π}{2}$,
则sin(sin(sinx))<sin($\frac{π}{2}$-cos(cosx))=cos(cos(cosx)),
同样可得sin(sin(sin(sinx)))<cos(cos(cos(cosx)));
当x∈($\frac{π}{2}$,π)时,sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$)∈(-1,1),0<sinx<1,-1<cosx<0.
即有sinx+cosx<$\frac{π}{2}$,即0<sinx<$\frac{π}{2}$-cosx<$\frac{π}{2}$,
则sin(sinx)<sin($\frac{π}{2}$-cosx)=cos(cosx),
同上可得sin(sin(sinx))<sin($\frac{π}{2}$-cos(cosx))=cos(cos(cosx)),
同样可得sin(sin(sin(sinx)))<cos(cos(cos(cosx))).
综上可得,sin(sin(sin(sinx)))<cos(cos(cos(cosx))),x∈R.
点评 本题考查不等式的证明,注意运用三角函数的周期性,以及分类讨论的思想方法,考查正弦函数的单调性,属于难题.
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 242 | B. | 121 | C. | 244 | D. | 122 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{6}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{2}{3}$ | D. | $\frac{3}{4}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 5 | B. | 7 | C. | 2$\sqrt{13}$ | D. | $\sqrt{19}$ |
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