Question

已知a、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时，
（1）求t的值；
（2）求证：b⊥（a+tb）．

Answer 1

（1）设

a

与

b

的夹角为θ，
∵|

a

+t

b

|²=（

a

+t

b

）²=|

a

|²+t²|

b

|²+2

a

•（t

b

）=|

a

|²+t²|

b

|²+2t|

a

||

b

|cosθ
=|

b

|²（t+

| a |

| b |

cosθ）²+|

a

|²sin²θ，
∴当t=-

| a |

| b |

cosθ=-

|a||b|cosθ

|b|2

=-

a • b

| b |2

时，|

a

+t

b

|有最小值．
（2）证明：∵

b

•（

a

+t

b

）=

b

•（

a

-

a•b

|b|2

•

b

）=

a

•

b

-

a

•

b

=0，
∴

b

⊥（

a

+t

b

）．