Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）证明函数a=1在f（x）=-x²+x+lnx上是增函数；
（2）解不等式：f（

1

x-1

）＞0，x∈（0，+∞）；
（3）若f′(x)=-2x+1+

1

x

=-

2x2-x-1

x

对所有f'（x）=0，任意x=-

1

2

恒成立，求实数x=1的取值范围．

Answer 1

分析：（1）任取x₁、x₂两数使x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，进而根据函数为奇函数推知f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂），让f（x₁）+f（-x₂）除以x₁-x₂再乘以x₁-x₂配出

f(a)+f(b)

a+b

的形式，进而判断出f（x₁）-f（x₂）与0的关系，进而证明出函数的单调性．
（2）根据函数f（x）在[-1，1]上是增函数知：

-1≤ 1 x-1 ≤1 0＜ 1 x-1

进而可解得x的范围．
（3）由（1）f（x）≤m²-2pm+1对任意x∈[-1，1]恒成立，只需1≤m²-2pm+1对p∈[-1，1]恒成立，即m²-2pm≥0对p∈[-1，1]恒成立设g（p）=m²-2mp，则

g(-1)≥0 g(1)≥0

?

m2+2m≥0 m2-2m≥0

解之即得m的取值范围．

解答：解：（1）设-1≤x₁＜x₂≤1
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）．
又x₁＜x₂，∴x₂+（-x₁）=x₂-x₁＞0，由题设有

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

＞0，
∴f（x₂）+f（-x₁）＞0即f（x₂）＞f（x₁）∴f（x）在[-1，1]上是增函数
（2）由（1）知：f(

1

x-1

)＞0?f(0)＜f(

1

x-1

)
?

-1≤ 1 x-1 ≤1 0＜ 1 x-1

?x＞1
∴原不等式的解集为x＞1．
（3）由（1）知f（x）≤m²-2pm+1对任意x∈[-1，1]恒成立
只需1≤m²-2pm+1对p∈[-1，1]恒成立，即m²-2pm≥0对p∈[-1，1]恒成立设g（p）=m²-2mp，则

g(-1)≥0 g(1)≥0

?

m2+2m≥0 m2-2m≥0

解得m≤-2或m≥2或m=0
∴m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）∪{0}．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用、函数恒成立问题．在解题时要利用好单调性和奇偶性的定义．