Question

9．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，a_n≠0，6S_n=a_na_n+1+2，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{n}{{a}_{n}（2{S}_{n}+n）}$（n∈N^*），T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：T_n＜$\frac{1}{6}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系及其等差数列的定义通项公式即可得出；
（2）S_n=$\frac{n（3n+1）}{2}$，可得b_n=$\frac{n}{（3n-1）（3{n}^{2}+2n）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）解：∵6S_n=a_na_n+1+2，其中n∈N^*．
∴当n=1时，6a₁=a₁a₂+2，即6×2=2a₂+2，解得a₂=5．
当n≥2时，6a_n=6S_n-6S_n-1=a_na_n+1+2-（a_n-1a_n+2），a_n≠0，化为：a_n+1-a_n-1=6．
又a₂-a₁=3，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为3，首项为2．
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1．
（2）证明：S_n=$\frac{n（2+3n-1）}{2}$=$\frac{n（3n+1）}{2}$．
b_n=$\frac{n}{{a}_{n}（2{S}_{n}+n）}$=$\frac{n}{（3n-1）（3{n}^{2}+2n）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_nz=$\frac{1}{3}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{8}）$+…+$（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）]$
=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}）$＜$\frac{1}{6}$．
∴T_n＜$\frac{1}{6}$（n∈N^*）．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．