Question

已知函数y=f（x）的图象经过坐标原点，且f′（x）=2x-1，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}满足a_n+log₃n=log₃b_n，求数列{b_n}的前n项和．
（Ⅲ）设P_n=a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2，Q_n=a₁₀+a₁₂+a₁₄+…+a_2n+8，其中n∈N^*，试比较P_n与Q_n的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：本题将数列与函数、导数知识有机的结合在一起，综合考查了导数的逆用，对数的运算、等差数列、等差数列的求和、错位相减法等知识点以及分析问题、综合解决问题的能力．（Ⅰ）首先利用导数知识求出S_n的关系式，然后利用S_n与a_n的关系求a_n；（Ⅱ）利用对数知识求出b_n，然后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和，（Ⅲ）是一个是开放性问题，利用等差数列求和公式求出P_n和Q_n，然后利用作差法比较大小．

解答：解：（I）由f′（x）=2x-1得f（x）=x²-x+b（b∈R）
因为y=f（x）的图象过原点，所以f（x）=x²-x
所以S_n=n²-n（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-2
又因为a₁=S₁=0适合a_n=2n-2
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-2（n∈N^*）（4分）
（II）由a_n+log₃n=log₃b_n得：bn=n.

3

an

=n.

3

2n-2

(n∈N*)（5分）
所以T_n=b₁+b₂+b₃+b_n=3⁰+2•3²+3•3⁴++n•3^2n-2（1）
所以9T_n=3²+2•3⁴+3•3⁶++n•3²ⁿ（2）（6分）
（2）-（1）得：8T_n=n•3²ⁿ-（1+3²+3⁴+3⁶++3^2n-2）=n•32n-

32n-1

8

所以Tn=

n•32n

8

-

32n-1

64

=

(8n-1)32n+1

64

（8分）
（Ⅲ）a₁，a₄，a₇，a_3n-2组成以0为首项6为公差的等差数列，所以MPn=

n(n-1)

2

×6=3

n

2

-3n；（9分）
a₁₀，a₁₂，a₁₄，，a_2n+8组成以18为首项4为公差的等差数列，所以Qn=18n+

n(n-1)

2

×4=2

n

2

+16n（10分）
故P_n-Q_n=3n²-3n-2n²-16n=n²-19n=n（n-19）（11分）
所以，对于正整数n，当n≥20时，P_n＞Q_n；
当n=19时，P_n=Q_n；
当n≤18时，P_n＜Q_n．（14分）

点评：求解有关数列的综合题，首先要善于从宏观上整体把握问题，能透过给定信息的表象，揭示问题的本质，然后在微观上要明确解题方向，化难为易，化繁为简，注意解题的严谨性．数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳、猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出．而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视，因此，在平时要加强对能力的培养．