【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=60°,AC∩BD=O,点P在底面的射影为点O,PO=3,点E为线段PD中点.
(1)求证:PB∥平面AEC;
(2)若点F为侧棱PA上的一点,当PA⊥平面BDF时,试确定点F的位置,并求出此时几何体F﹣BDC的体积.
【答案】(1)见解析(2)F为AP的四等分点(靠近A),几何体F﹣BDC的体积为
【解析】
(1)连接OE,利用中位线知识即可证得:PB∥OE,问题得证。
(2)利用PO⊥平面ABCD证得:BD⊥PA,作BF⊥PA交PA于F,连接DF,即可证得:PA⊥平面BDF,利用等面积法可得OF,结合已知可得:F为AP的四等分点(靠近A),利用体积转化可得:VF﹣BDC,再利用锥体体积公式计算得解。
解:
(1)证明:连接OE,
∵O,E为BD,PD的中点,
∴PB∥OE,
又PB平面AEC,OE平面AEC,
∴PB∥平面AEC;
(2)∵PO⊥平面ABCD,
∴PO⊥BD,
又BD⊥AC,
∴BD⊥平面PAC,
∴BD⊥PA,
作BF⊥PA交PA于F,连接DF,
则PA⊥平面BDF,
在菱形ABCD中,∠DAB=60°,边长为2,
可求得AO,
在Rt△POA中,求得PA,
连接OF,易知PA⊥OF,
利用等面积法可得OF,
在Rt△AFO中,求得AF,
即F为AP的四等分点(靠近A),
∴VF﹣BDC
.
故几何体F﹣BDC的体积为.
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【题目】设函数f(x)=|x+2|+|x﹣a|,x∈R
(1)若a<0,且log2f(x)>2对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若a>0,且关于x的不等式f(x)< x有解,求实数a的取值范围.
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【题目】已知等差数列中,公差,其前项和为,且满足:.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)通过公式构造一个新的数列.若也是等差数列,求非零常数;
(Ⅲ)求的最大值.
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【题目】已知M( ,0),N(2,0),曲线C上的任意一点P满足: = | |.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设曲线C与x轴的交点分别为A、B,过N的任意直线(直线与x轴不重合)与曲线C交于R、Q两点,直线AR与BQ交于点S.问:点S是否在同一直线上?若是,请求出这条直线的方程;若不是,请说明理由.
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【题目】下列判断错误的是
A. 若随机变量服从正态分布,则;
B. 若组数据的散点都在上,则相关系数;
C. 若随机变量服从二项分布: , 则;
D. 是的充分不必要条件;
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【题目】A市某机构为了调查该市市民对我国申办2034年足球世界杯的态度,随机选取了140位市民进行调查,调查结果统计如下:
支持 | 不支持 | 总计 | |
男性市民 | 60 | ||
女性市民 | 50 | ||
合计 | 70 | 140 |
(I)根据已知数据,把表格数据填写完整;
(II)利用(1)完成的表格数据回答下列问题:
(ⅰ)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与支持申办足球世界杯有关;
(ⅱ)已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有5位退休老人,其中2位是教师,现从这5位退休老人中随机抽取3人,求至多有1位老师的概率。
附:,其中
0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(0)=0,对于任意x∈R,都有f(x)≥x,且,令g(x)=f(x)﹣|λx﹣1|(λ>0).
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)求函数g(x)的单调区间;
(3)当λ>2时,判断函数g(x)在区间(0,1)上的零点个数,并说明理由.
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【题目】甲乙两名篮球运动员分别在各自不同的5场比赛所得篮板球数的茎叶图如图所示,已知两名运动员在各自5场比赛所得平均篮板球数均为10.
(1)求x,y的值;
(2)求甲乙所得篮板球数的方差和,并指出哪位运动员篮板球水平更稳定;
(3)教练员要对甲乙两名运动员篮板球的整体水平进行评估.现在甲乙各自的5场比赛中各选一场进行评估,则两名运动员所得篮板球之和小于18的概率.
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【题目】已知点P为函数f(x)=lnx的图象上任意一点,点Q为圆[x﹣(e+ )]2+y2=1任意一点,则线段PQ的长度的最小值为( )
A.
B.
C.
D.e+ ﹣1
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