Question

6．如图1，一座抛物线型拱桥，水面离拱顶8m，水面宽16m，如图2，一艘船的宽度为12m，船的甲板与水面距离为1m，船上两根高为a m的杆垂直于船的甲板，且到甲板左右两边的距离为2m，现船正面正对桥洞（船截面的中轴线与抛物线对称轴重合时）通过该拱桥
（1）当a=3时，该渔船是否能安全通过该拱桥？
（2）若该渔船能安全通过该拱桥，求a的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过设抛物线型拱桥方程为y=f（x）=mx²+n，代入易知点的坐标计算可知抛物线型拱桥方程，进而比较f（-4）与4的大小关系即可；
（2）通过（1）可知，要使该渔船能安全通过该拱桥只需f（-4）≤a+1，进而计算可得结论．

解答 解：（1）设抛物线型拱桥方程为：y=f（x）=mx²+n，

依题意，$\left\{\begin{array}{l}{m•{8}^{2}+n=0}\\{0+n=8}\end{array}\right.$，
解得：m=-$\frac{1}{8}$，n=8，
∴抛物线型拱桥方程为：y=f（x）=-$\frac{1}{8}$x²+8，
建系如图，则E（-6，1），A（-4，4），
∵f（-6）=$\frac{7}{2}$，f（-4）=6，
∴当a=3时，该渔船能安全通过该拱桥；
（2）由（1）可知，要使该渔船能安全通过该拱桥，
则f（-4）≤a+1，
即a≥6-1=5，
∴a的最大值为5米．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．