Question

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为12k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[

(512x2+20)x

100

+8]k元，假设座位等距离分布，且至少有四个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元．
（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）当k=100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

Answer 1

分析：（Ⅰ）设摩天轮上总共有n个座位，则x=

k

n

即n=

k

x

，由此能写出y关于x的函数关系式，并写出定义域．
（Ⅱ）当k=100时，0＜x≤25，令y=100(

2000

x

+512x2+20)f(x)=

2000

x

+512x2，则f′(x)=-

2000

x2

+1024x=

-2000+1024x3

x2

=0．由此当k=100米时，能确定座位的个数，使得总造价最低．

解答：解：（Ⅰ）设摩天轮上总共有n个座位，
则x=

k

n

，即n=

k

x

，
∴y=12k

k

x

+

k

x

[

(512x2+20)x

100

+8]k=k2(

20

x

+

512x2+20

100

)，
定义域{x|0＜x≤

k

4

，

k

x

∈Z}；
（Ⅱ）当k=100时，0＜x≤25，
令y=100(

2000

x

+512x2+20)f(x)=

2000

x

+512x2，
则f′(x)=-

2000

x2

+1024x=

-2000+1024x3

x2

=0，
∴x3=

1000

512

，
∴x=

5

4

，
当x∈(0，

5

4

)时，f'（x）＜0，即f（x）在x∈(0，

5

4

)上单调减，
当x∈(

5

4

，25)时，f'（x）＞0，即f（x）在x∈(

5

4

，25)上单调增，
∴y_min在x=

5

4

时取到，此时座位个数为

100

5 4

=80个．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，解题时要认真审题，注意分析数量间的相互关系，合理地建立方程，注意函数最小值的求法．