Question

已知数列a_n的前n项和S_n满足条件2S_n=3（a_n-1），其中n∈N^*．
（1）求证：数列a_n成等比数列；
（2）设数列b_n满足b_n=log₃a_n．若 tn=

1

bnbn+1

，求数列t_n的前n项和．

Answer 1

分析：（1）直接利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）和题中条件求出a_n和a_n-1的关系即可证得数列{a_n}为等比数列；
（2）先由（1）的结论求出数列{b_n}的通项公式，再代入求出数列{t_n}的通项公式，最后用裂项相消法求数列{t_n}的前n项和即可．

解答：解：（1）由题得an=Sn-Sn-1=

3

2

(an-an-1)(n≥2)（2分）
所以a_n=3a_n-1故有

an

an-1

=3(n≥2)（4分）
又S1=

3

2

(a1-1)=a1，解得a₁=3，
所以数列a_n成等比数列（6分）
（2）由（1）得a_n=3ⁿ，则b_n=log₃a_n=log₃3ⁿ=n（8分）
故有tn=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

所以t1+t2+t3++tn=

1

1•2

+

1

2•3

+

1

3•4

+

1

n(n+1)

（10分）
=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)++(

1

n

-

1

n+1

)（14分）
=

n

n+1

（16分）

点评：本题主要考查数列递推关系式的应用以及数列求和的裂项相消法求和．数列求和的常用方法有：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组求和等．