Question

13．已知$x=\root{3}{2+\sqrt{5}}$+$\root{3}{2-\sqrt{5}}$，求x³+3x-5的值．

Answer 1

分析 由于$x=\root{3}{2+\sqrt{5}}$+$\root{3}{2-\sqrt{5}}$，两边立方可得：x³=$2+\sqrt{5}$+3$\root{3}{2+\sqrt{5}}$$\root{3}{2-\sqrt{5}}$$（\root{3}{2+\sqrt{5}}+\root{3}{2-\sqrt{5}}）$+$2-\sqrt{5}$，化简整理即可得出．

解答 解：∵$x=\root{3}{2+\sqrt{5}}$+$\root{3}{2-\sqrt{5}}$，
∴x³=$2+\sqrt{5}$+3$\root{3}{2+\sqrt{5}}$$\root{3}{2-\sqrt{5}}$$（\root{3}{2+\sqrt{5}}+\root{3}{2-\sqrt{5}}）$+$2-\sqrt{5}$，
化为x³=4-3x，
∴x³+3x-5=-1．

点评 本题考查了分数指数幂的运算性质、乘法公式，考查了计算能力，属于中档题．