Question

17．（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求直线A₁B和平面A₁B₁CD所成的角的大小．（2）已知平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β=AB，a∥α，a⊥AB，试判断直线α与平面β的位置关系并证明．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A₁B和平面A₁B₁CD所成的角的大小．
（2）过直线a作平面γ与平面α垂直，与β直交，记为直线n，由a⊥交线n，a⊥AB，能证明a⊥β．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1，
则A₁（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
设平面A₁B₁CD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
设直线A₁B和平面A₁B₁CD所成的角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|1|}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=30°，
∴直线A₁B和平面A₁B₁CD所成的角的大小为30°．
（2）∵平面α，β，直线a，
且α⊥β，α∩β=AB，a∥α，a⊥AB，
∴过直线a作平面γ与平面α垂直，与β直交，记为直线n，
则a⊥交线n，
∵a⊥AB，a与n相交，∴a⊥β．

点评 本题考查线面角的大小的求法，考查线面关系的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．