Question

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∠BAC=

π

2

，AB=AC=A₁A=1，已知G与E分别是棱A₁B₁和CC₁的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（　　）

• A、[

  1

  5

  ，1）
• B、[

  1

  5

  ，2）
• C、[1，

  2

  ）
• D、[

  1

  5

  ，

  2

  ）

Answer 1

分析：建立空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量

DG

， 

EF

，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可．

解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，

1

2

），
G（

1

2

，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）由于
GD⊥EF，所以   x+2y-1=0
DF=

x2+y2

=

5y2-4y+1

=

5(y- 2 5 )2+ 1 5

∵0＜x＜1，0＜y＜1，
∴0＜y＜

1

2

，
当y=

2

5

时，线段DF长度的最小值是

1

5

当y=0时，线段DF长度的最大值是1，
而不包括端点，故y=0不能取1；
故选A．

点评：本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力，空间直角坐标系，数量积等知识，是中档题．