Question

2．设f（x）是定义域R上的增函数，?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）-1，若不等式f（x²-x-3）＜3的解集为{x|-2＜x＜3}，记${a_n}=f（n）\;（n∈{N^*}）$，则数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{n（n+4）}{3}$．

Answer 1

分析 由不等式的解集，结合f（x）的单调性，可得x²-x-3＜t，可得-2，3为方程x²-x-3=t的根，再由韦达定理解得t=3，即f（3）=3．令x=y=1，以及x=1，y=2，结合条件f（3）=3，可得f（1），再令x=n，y=1，结合等差数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：由不等式f（x²-x-3）＜3的解集为{x|-2＜x＜3}，
结合条件f（x）是定义域R上的增函数，可令f（t）=3，
即有x²-x-3＜t，可得-2，3为方程x²-x-3=t的根，
即有-2×3=-3-t，解得t=3，
即有f（3）=3．
令x=y=1，可得f（2）=2f（1）-1，
再令x=1，y=2，可得f（3）=f（1）+f（2）-1=3f（1）-2，
由f（3）=3，可得f（1）=$\frac{5}{3}$，
令x=n，y=1，可得f（n+1）=f（n）+f（1）-1=f（n）+$\frac{2}{3}$，
即为a_n+1-a_n=$\frac{2}{3}$，且a₁=$\frac{5}{3}$，
可得数列{a_n}为首项为$\frac{5}{3}$，公差为$\frac{2}{3}$的等差数列，
可得S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=$\frac{5}{3}$n+$\frac{1}{2}$n（n-1）•$\frac{2}{3}$=$\frac{n（n+4）}{3}$．
故答案为：$\frac{n（n+4）}{3}$．

点评 本题考查数列的求和的求法，注意运用等差数列的求和公式，同时考查抽象函数的运用，注意运用赋值法的运用，以及二次不等式的解法，属于中档题．