Question

14．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{49}$-$\frac{{y}^{2}}{24}$=1上一点P与双曲线的两个焦点F₁、F₂的连线互相垂直，则三角形PF₁F₂的面积为（　　）

• A． 20
• B． 22
• C． 28
• D． 24

Answer 1

分析 算出双曲线的焦距|F₁F₂|=2$\sqrt{73}$，利用勾股定理得出m²+n²=|F₁F₂|²=292，结合|m-n|=2a=14，联解得出mn=48，即可算出△PF₁F₂的面积．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{49}$-$\frac{{y}^{2}}{24}$=1中，a=7，b=2$\sqrt{6}$，
∴c=$\sqrt{73}$，得焦距|F₁F₂|=2$\sqrt{73}$
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵PF₁⊥PF₂，∴m²+n²=|F₁F₂|²=292…①
由双曲线的定义，得|m-n|=2a=14…②
①②联立，得mn=48
∴△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$mn=24
故选：D．

点评 本题给出等轴双曲线的焦点三角形为直角三角形，求三角形的面积．着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、勾股定理与三角形的面积公式等知识，属于中档题．