【题目】设函数y=f(x)在[﹣3,3]上是奇函数,且对任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,f(1)=﹣2:
(Ⅰ)求f(2)的值;
(Ⅱ)判断f(x)的单调性,并证明你的结论;
(Ⅲ)求不等式f(x﹣1)>4的解集.
【答案】解:(Ⅰ)在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=1得:f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)=﹣4.
(Ⅱ)结论:函数f(x)在[﹣3,3]上是单调递减的,证明如下:
任取﹣3≤x1<x2≤3,
则f(x2)﹣f(x1)=f(x1+x2﹣x1)﹣f(x1)=f(x1)+f(x2﹣x1)﹣f(x1)=f(x2﹣x1),
∵x1<x2,x2﹣x1>0,f(x2﹣x1)<0,即f(x2)<f(x1),
故函数f(x)在[﹣3,3]上是单调递减.
(Ⅲ)由于f(2)=﹣4,
∴不等式f(x﹣1)>4等价于f(x﹣1)>﹣f(2)=f(﹣2),
又∵函数f(x)在[﹣3,3]上是单调递减,
∴ ,解得﹣2≤x<﹣1,
故原不等式的解集为[﹣2,﹣1).
【解析】(1)在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=1,代入即可解得f(2)的值,(2)函数f(x)在[﹣3,3]上是单调递减的,根据函数的单调性的定义进行设值,着差判断出单调性,(3)由于f(2)=﹣4,不等式f(x﹣1)>4等价于f(x﹣1)>﹣f(2)=f(﹣2),根据函数的单调性得出不等式组,即可解得原不等式的解集.
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【题目】如图,在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,AB=AC=AA1 , ,点D是BC的中点.
(I)求证:AD⊥平面BCC1B1;
(II)求证:A1B∥平面ADC1;
(III)求二面角A﹣A1B﹣D的余弦值.
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【题目】已知{an}是等差数列,其中a10=30,a20=50.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an﹣20,求数列{bn}的前n项和Tn的最小值.
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【题目】已知函数 且函数y=f(x)图象上点(1,f(1))处的切线斜率为0.
(1)试用含有a的式子表示b,并讨论f(x)的单调性;
(2)对于函数图象上的不同两点A(x1 , y1),B(x2 , y2)如果在函数图象上存在点M(x0 , y0),(x0∈(x1 , x2))使得点M处的切线l∥AB,则称AB存在“跟随切线”.特别地,当 时,又称AB存在“中值跟随切线”.试问:函数f(x)上是否存在两点A,B使得它存在“中值跟随切线”,若存在,求出A,B的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=x﹣alnx(a∈R)
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
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【题目】等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若a3 , a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项,求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn .
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【题目】设f(n)=(1+ )n﹣n,其中n为正整数.
(1)求f(1),f(2),f(3)的值;
(2)猜想满足不等式f(n)<0的正整数n的范围,并用数学归纳法证明你的猜想.
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