Question

已知sinβ+2sin（2α+β）=0，且α≠

kπ

2

，α+β≠

π

2

+kπ((k∈Z)），则3tan（α+β）+tanα=

0

．

Answer 1

分析：由β=（α+β）-α，2α+β=（α+β）+α，利用两角和与差的正弦函数公式表示出sinβ和sin（2α+β），代入已知的等式中，合并后，由α及α+β的范围得到cosαcos（α+β）不为0，等号两边同时除以cosαcos（α+β），利用同角三角函数间的基本关系弦化切后得到所求式子的值．

解答：解：∵sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，
sin（2α+β）=sin[（α+β）+α]=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
∴代入已知的等式sinβ+2sin（2α+β）=0得：
sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα+2sin（α+β）cosα+2cos（α+β）sinα=0，
即3sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=0，
又且α≠

kπ

2

，α+β≠

π

2

+kπ((k∈Z)），
∴cosαcos（α+β）≠0，
∴等式两边同时除以cosαcos（α+β）得：3tan（α+β）+tanα=0．
故答案为：0

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，灵活变换β=（α+β）-α，2α+β=（α+β）+α，利用两角和与差的正弦函数公式化简已知的等式是解本题的关键，同时注意运用α及α+β的范围．