【题目】已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC. (Ⅰ)若a=b,求cosB;
(Ⅱ)设B=90°,且a= ,求△ABC的面积.
【答案】解:(I)∵sin2B=2sinAsinC, 由正弦定理可得: >0,
代入可得(bk)2=2akck,
∴b2=2ac,
∵a=b,∴a=2c,
由余弦定理可得:cosB= = = .
(II)由(I)可得:b2=2ac,
∵B=90°,且a= ,
∴a2+c2=b2=2ac,解得a=c= .
∴S△ABC= =1.
【解析】(I)sin2B=2sinAsinC,由正弦定理可得:b2=2ac,再利用余弦定理即可得出.(II)利用(I)及勾股定理可得c,再利用三角形面积计算公式即可得出.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握正弦定理:;余弦定理:;;.
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【题目】函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1 , x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;
(3)如果f(4)=1,f(x﹣1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
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【题目】函数f(x)= 是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且f( )= .
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(x)在(﹣1,1)上是增函数;
(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.
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【题目】设函数f(x)= +lnx,则( )
A.x=2为f(x)的极大值点??
B.x=2为f(x)的极小值点
C.x= 为f(x)的极大值点??
D.x= 为f(x)的极小值点
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【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: = , = ﹣ .
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【题目】已知椭圆E: (a>b>0)的上顶点为P(0,1),过E的焦点且垂直长轴的弦长为1.若有一菱形ABCD的顶点A、C在椭圆E上,该菱形对角线BD所在直线的斜率为﹣1.
(1)求椭圆E的方程;
(2)当直线BD过点(1,0)时,求直线AC的方程;
(3)当∠ABC= 时,求菱形ABCD面积的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=ax2﹣2x+c,且f(x)>0的解集是 .
(1)求f(2)的最小值及f(2)取最小值时f(x)的解析式;
(2)在f(2)取得最小值时,若对于任意的x>2,f(x)+4≥m(x﹣2)恒成立,求实数m的取值范围.
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