(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;
(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项;
(3)记bn=+,求数列{bn}的前n项和Sn,并证明Sn+=1.
解:(1)证明:由已知得an+1=an2+2an,∴an+1+1=(an+1)2-1an+1+1=(an+1)2.
又∵a1=2,∴an+1>0,两边取对数得lg(an+1+1)=2lg(an+1)(n∈N+),即=2.
∴数列{lg(1+an)}是公比为2的等比数列.
(2)由(1)知lg(1+an)=2n-1·lg(1+a1)=2n-1·lg3=lg32n-1,∴1+an=32n-1.(*)
∴Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)=··…=+…+2n-1=3(2n-1).
由(*)式得an=-1.
(3)∵an+1=an2+2an,∴an+1=an(an+2).∴==().
∴=.
又bn=+,∴bn=2().
∴Sn=b1+b2+…+bn=2(++…+)=2().
又∵an=-1,a1=2,an+1=-1,∴Sn=1.
又由(2)知Tn=,∴Sn+=1+=1.
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1 |
2 |
Sn-1 |
Sn |
n2 |
n+1 |
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5 | 2 |
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|
|
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1 | Sn |
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2 |
3 |
2an |
an+1 |
1 |
an |
n |
bn |
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