Question

13．已知△ABC的面积为S，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
（1）若S=（a+b）²-c²，a+b=4，求sinC的值；
（2）证明：$\frac{{{a^2}-{b^2}}}{c^2}=\frac{{sin（{A-B}）}}{sinC}$．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理、三角形的面积公式，结合条件，即可求sinC的值；
（2）由余弦定理得到a²，b²的表达式，两者作差整理即$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{acosB-bcosA}{c}$，再正弦定理将等式右边的a，b，c换成sinA，sinB，sinC来表示，逆用正弦的差角公式即可得出结论．

解答 （1）解：由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC，
∴$S=\frac{1}{2}absinC={（{a+b}）^2}-{a^2}-{b^2}+2abcosC$，
∴sinC=4cosC+4，
又∵sin²C+cos²C=1，∴17sin²C-8sinC=0，∴sinC=0或$sinC=\frac{8}{17}$
又∵C∈（0，π），∴sinC≠0，∴$sinC=\frac{8}{17}$；
（2）证明：由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，b²=a²+c²-2accosB，
∴a²-b²=b²-a²-2bccosA+2accosB整理得$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{acosB-bcosA}{c}$
依正弦定理，有$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{acosB-bcosA}{c}$=$\frac{sinAcosB-sinBcosA}{sinC}$=$\frac{sin（A-B）}{sinC}$．

点评 本小题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识，考查三角函数简单的变形技能．