Question

设函数f（x）=

1

3

ax³+bx²+cx（a＜b＜c），其图象在点A（1，f（1）），B（m，f（m））处的切线的斜率分别为0，-a．
（1）求证：0≤

b

a

＜1；
（2）若函数f（x）的递增区间为[s，t]，求|s-t|的取值范围；
（3）若当x≥k时（k是与a，b，c无关的常数），恒有f′（x）+a＜0，试求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用函数图象在A，B两点处的切线的斜率，可以得到f'（1）=0，f'（m）=-a，然后利用a，b，c的大小关系，确定a，c的符号，通过消元得到am²+2bm-2b=0，利用二次方程的根的情况，可得0≤

b

a

＜1，
（2）由导数的符号确定函数的单调增区间，利用二次方程根与系数的关系得到|s-t|关于a，b的关系式，即可得|s-t|的取值范围；（3）由f'（x）+a＜0得ax²+2bx-2b＜0，通过转换主元，利用不等式恒成立的条件得到x的范围，从而得到k的范围．

解答：解：（1）f'（x）=ax²+2bx+c，由题意及导数的几何意义得
f'（1）=a+2b+c=0①f'（m）=am²+2bm+c=-a②
又a＜b＜c，可得3a＜a+2b+c＜3c，即3a＜0＜3c，故a＜0，c＞0，
由①得c=-a-2b，代入a＜b＜c，再由a＜0，得-

1

3

＜

b

a

＜1③
将c=-a-2b代入②得am²+2bm-2b=0，即方程ax²+2bx-2b=0有实根．
故其判别式△=4b²+8ab≥0得

b

a

≤-2，或

b

a

≥0④
由③，④得0≤

b

a

＜1；
（2）由f'（x）=ax²+2bx+c的判别式△'=4b²-4ac＞0，
知方程f'（x）=ax²+2bx+c=0（*）有两个不等实根，设为x₁，x₂，
又由f'（1）=a+2b+c=0知，x₁=1为方程（*）的一个实根，则有根与系数的关系得x1+x2=-

2b

a

，x2=-

2b

a

-1＜0＜x1，
当x＜x₂或x＞x₁时，f'（x）＜0，当x₂＜x＜x₁时，f'（x）＞0，
故函数f（x）的递增区间为[x₂，x₁]，由题设知[x₂，x₁]=[s，t]，
因此|s-t|=|x1-x2|=2+

2b

a

，由（Ⅰ）知0≤

b

a

＜1得|s-t|的取值范围为[2，4）；
（3）由f'（x）+a＜0，即ax²+2bx+a+c＜0，即ax²+2bx-2b＜0，
因为a＜0，则x2+2•

b

a

x-2•

b

a

＞0，整理得(2x-2)

b

a

+x2＞0，
设g(

b

a

)=(2x-2)

b

a

+x2，可以看作是关于

b

a

的一次函数，由题意g(

b

a

)＞0对于0≤

b

a

＜1恒成立，
故

g(-1)≥0 g(0)＞0

即

x2+2x-2≥0 x2＞0

得x≤-

3

-1或x≥

3

-1，
由题意，[k，+∞)⊆(-∞，-

3

-1]∪[

3

-1，+∞)，
故k≥

3

-1，因此k的最小值为

3

-1．

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间，掌握不等式恒成立时所取的条件．是个难题．是个难题．