Question

某市电信宽带私人用户月收费标准如下表：

方案	类        别	基本费用	超时费用
甲	包月制	70元
乙	有限包月制（限60小时）	50元	0.05元/分钟（无上限）
丙	有限包月制（限30小时）	30元	0.05元/分钟（无上限）

假定每月初可以和电信部门约定上网方案．
（Ⅰ）若某用户每月上网时间为66小时，应选择

乙

方案最合算；
（Ⅱ）王先生因工作需要在家上网，所在公司预测其一年内每月的上网时间T（小时）与月份n的函数关系为T=f(n)=

3n+237

4

 (1≤n≤12， n∈N)．若公司能报销王先生全年上网费用，问公司最少会为此花费多少元？
（Ⅲ）一年后，因公司业务变化，王先生每月的上网时间T（小时）与月份n的函数关系为T=g(n)=10(

3

5

)n+30，  n∈N*．假设王先生退休前一直从事此项业务，公司在花费尽量少的前提下，除为其报销每月的基本费用外，对于所有的超时费用，公司考虑一次性给予补贴a元，试确定最合理的a的值，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据表格中的数据，我们分别计算出用户每月上网时间为66小时时，三种方案的费用，比较后即可得到答案．
（II）根据表中三种方案的收费标准，我们可以计算出在不同时间长度时，选择交费方案的最佳方式，结合已知中公司预测其一年内每月的上网时间T（小时）与月份n的函数关系为T=f(n)=

3n+237

4

 (1≤n≤12， n∈N)，我们易计算出各份的最佳方案，累加即可得到公司最少会为此花费多少元？
（Ⅲ）由已知中王先生每月的上网时间T（小时）与月份n的函数关系为T=g(n)=10(

3

5

)n+30，  n∈N*．我们可根据表中交费方式，得到选择丙方案合算，进而计算出所有的超时费用，进而得到一次性给予补贴a元的值．

解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ） 某用户每月上网时间为66小时时
男方案需要费用：70元；
乙方案需要费用：68元；
丙方案需要费用：138元；
故选乙方案最合算
故答案为：乙．…（2分）
（Ⅱ）当T≤30时，选择丙方案合算；
当T＞30时，由30+3（T-30）≤50，得30＜T≤36

2

3

，此时选择丙方案合算；
当36

2

3

≤T≤60时，选择乙方案合算；
当T＞60时，由60+3（T-30）≤70，得60＜T≤66

2

3

，此时选择乙方案合算；
当T≥66

2

3

时，选择甲方案合算．
综上可得：当T∈(0， 36

2

3

]，选择丙方案合算；…（3分）
当T∈[36

2

3

， 66

2

3

]时，选择乙方案合算；…（4分）
当T∈[66

2

3

， +∞)时，选择甲方案合算．…（5分）
∵f(n+1)-f(n)=

3

4

，∴{f（n）}是首项为f（1）=60，公差为d=

3

4

的等差数列，且每月上网时间逐月递增．
令T=

3n+237

4

≥66

2

3

，得n≥9

8

9

．
∴前9个月选择乙方案，最后3个月选择甲方案上网花费最少．…（7分）
此时，一年的上网总费用为

9

n=1

[50+3(

3n+237

4

-60)]+3×70=450+

9

n=1

9

4

(n-1)+210=450+81+210=741．
答：一年内公司最少会为王先生花费上网费741元．…（9分）
（Ⅲ）由T=g(n)=10×(

3

5

)n+30  (n∈N*)知，g（1）=36，g（n）＞30，且{g（n）}是递减数列，
∴选择丙方案合算．…（10分）
若上网n个月，王先生的超时总费用为

n

k

3[g(n)-30]=

n

k

30(

3

5

)n=45[1-(

3

5

)n]．…（13分）
答：公司考虑一次性给予补贴a元，最合理的a的值为45元．…（14分）

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，无穷等比数列的前n项和，是函数模型的简单应用，难度适中．