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曲线N:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为
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(1)求曲线N;
(2)过点T(-1,0)作直线l与曲线N交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(x0,0),使得△ABE是等边三角形,若存在,求出x0;若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据抛物线的定义可知点F(
1
4
,0)为抛物线的焦点,x=-
1
4
为其准线,设出抛物线的方程,根据焦点坐标求得p,则抛物线方程可得.
(2)对于存在性问题,可先假设存在,即假设x轴上存在满足条件的点Ex0,0),再利用△ABC为正三角形,求出AB,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
解答:解:(1)据抛物线的定义可知点F(
1
4
,0)为抛物线的焦点,x=-
1
4
为其准线,
∴p=
1
2

∴曲线N:y2=x(3分)
(2)依题意知,直线的斜率存在,且不等于0.
设直线l:y=k(x+1),k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2).
y=k(x+1)
y2=x
消y整理,得k2x2+(2k2-1)x+k2=0①
由直线和抛物线交于两点,得△=(2k2-1)2-4k4=-4k2+1>
0即0<k2
1
4
②(5分)
由韦达定理,得:x1+x2=-
2k2-1
k2
,x1x2=1.
y1+y2=
1
k

则线段AB的中点为(-
2k2-1
2k2
1
2k
)
.(8分)
线段的垂直平分线方程为:y-
1
2k
=-
1
k
(x-
1-2k2
2k2
)

令y=0,得x0=
1
2k2
-
1
2
,则E(
1
2k2
-
1
2
,0)
(10分)
∵△ABE为正三角形,
E(
1
2k2
-
1
2
,0)
到直线AB的距离d为
3
2
|AB|
.(11分)
又∵|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
1-4k2
k2
1+k2
d=
1+k2
2|k|

3
1-4k2
2k2
1+k2
=
1+k2
2|k|

解得k=±
39
13
满足②式(13分)
此时x0=
5
3
.(14分)
点评:本题主要考查了抛物线的简单性质,直线与抛物线的关系,抛物线的标准方程.考查了学生分析问题和运算能力的.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点M(k,l)、P(m,n),(klmn≠0)是曲线C上的两点,点M、N关于x轴对称,直线MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0),
(Ⅰ)用k、l、m、n分别表示xE和xF
(Ⅱ)当曲线C的方程分别为:x2+y2=R2(R>0)、
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
时,探究xE•xF的值是否与点M、N、P的位置相关;
(Ⅲ)类比(Ⅱ)的探究过程,当曲线C的方程为y2=2px(p>0)时,探究xE与xF经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(理)过圆锥曲线焦点F的直线被曲线截得的弦称为焦点弦,若抛物线y2=2px(p>0)的焦点将焦点弦分成长为m,n的两段,则有结论
1
m
+
1
n
=
2
p
.借助获得这一结论的思想方法可以得到:若椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
的一个焦点将焦点弦分成长为m,n的两段,则
1
m
+
1
n
=
2a
b2
2a
b2

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

曲线N:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为
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(1)求曲线N;
(2)过点T(-1,0)作直线l与曲线N交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(x0,0),使得△ABE是等边三角形,若存在,求出x0;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年福建省泉州一中高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

曲线N:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为
(1)求曲线N;
(2)过点T(-1,0)作直线l与曲线N交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(x,0),使得△ABE是等边三角形,若存在,求出x;若不存在,请说明理由.

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