Question

【题目】如图，在直角梯形中， ， ， .直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面. 为线段的中点， 为线段上的动点.

（1）求证： ；

（2）当点是线段中点时，求二面角的余弦值；

（3）是否存在点，使得直线平面？请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) （3）存在点，使得直线平面

【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面平面.．推出平面．即可证明．

（Ⅱ）以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABM的一个法向量，平面APM的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角P﹣AM﹣B的余弦值．

（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），求出平面AMP的一个法向量，求出，利用．求出λ，即可证明结果．

试题解析：

（1）由已知，平面平面

平面，平面 平面

所以平面

又平面

所以

（2）由（1）可知， ， 两两垂直.

分别以， ， 为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系如图所示.

由已知

所以， ， ， ，

因为为线段的中点， 为线段的中点.

所以，

易知平面的一个法向量

设平面的一个法向量为

由得

取，得

由图可知，二面角的大小为锐角，

所以

所以二面角的余弦值为

（3）存在点，使得直线平面

设，且， ，则

所以， ， .所以

设平面的一个法向量为，

由得

取，得（不符合题意）

又若平面，则

所以，所以

所以存在点，使得直线平面