Question

设函数f（x）=x+log_ax，
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）解不等式log2(x2-x)＜3+x-x2．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的定义域，然后在分a＞1及）＜a＜1两种情况在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）log2(x2-x)+x2-x＜3，又f（2）=3，所以该不等式可化为f（x²-x）＜f（2），由（1）利用函数单调性即可解得不等式．

解答：解．（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=1+

1

xlna

，
当a＞1时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，解得x＞-

1

lna

，由f′（x）＜0，解得0＜x＜-

1

lna

．
所以f（x）在（0，-

1

lna

）上单调递减，在（-

1

lna

，+∞）上单调递增；
综上，当a＞1时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当0＜a＜时，f（x）的减区间是（0，-

1

lna

），增区间是（-

1

lna

，+∞）．
（2）原不等式可化为log2(x2-x)+x2-x＜3．
由（1）知f（t）=t+log₂t在（0，+∞）上是增函数，且f（2）=3，
所以log2(x2-x)+x2-x＜3可化为f（x²-x）＜f（2），
所以0＜x²-x＜2，解得1＜x＜2．
所以原不等式的解集为{x|1＜x＜2}．

点评：本题考查导数与函数单调性及应用单调性解抽象不等式，（2）问解决关键是合理构造函数．