Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=anlog

1

2

an，求数列{bn}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）根据a₃+2是a₂，a₄的等差中项和a₂+a₃+a₄=28，求出a₃、a₂+a₄的值，进而得出首项和a₁，即可求得通项公式；
（II）先求出数列{b_n}的通项公式，然后求出-S_n-（-2S_n），即可求得的前n项和S_n．

解答：解：（I）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项
∴2（a₃+2）=a₂+a₄
代入a₂+a₃+a₄=28，得a₃=8
∴a₂+a₄=20
∴

a1q+a1q3=20 a3=a1q2=8

∴

q=2 a1=2

或

q= 1 2 a1=32

∵数列{a_n}单调递增
∴a_n=2ⁿ
（II）∵a_n=2ⁿ
∴b_n=2n•log

1

2

2n=-n•2ⁿ
∴-s_n=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ    ①
∴-2s_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n2ⁿ⁺¹  ②
∴①-②得，
s_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹-2

点评：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，求前n项和一般采取错位相减的办法．