Question

设函数f_n（x）=1+

x

1!

+

x2

2!

+…+

xn

n!

，n∈N*．
（1）证明：e^-xf₃（x）≤1；
（2）证明：当n为偶数时，函数y=f_n（x）的图象与x轴无交点；当n为奇数时，函数y=f_n（x）的图象与x轴有且只有一个交点．

Answer 1

分析：（1）写出要用的函数，对于函数求导，整理看出导函数一定小于0，得到函数的单调性，从而确定其最大值．
（2）先证明n为偶数时，f_n（x）=0无解，F_n（x）=e^-xf_n（x），求出导数，根据导数的正负看出函数的单调性，看出方程根的个数，从而得出交点的个数，同样的方法证明当n为奇数时，函数y=f_n（x）的图象与x轴有且只有一个交点．

解答：解：（Ⅰ）f₃（x）=1+x+

x2

2

+

x3

6

，设F（x）=e^-xf₃（x）=e^-x（1+x+

x2

2

+

x3

6

），
F′（x）=e^-x（1+x+

1

2

x²）-e^-x（1+x+

x2

2

+

x3

6

）=-e^-x•

x3

6

，
列表如下：

x	（-∞，0）	（0，+∞）
F'（x）	+	-
F（x）	增	减

∴y=F（x）为（-∞，0]上的增函数，（0，+∞）上的减函数，且F（0）=1．
∴F（x）≤1，即：e^-xf₃（x）≤1
（2）先证明n为偶数时，f_n（x）=0无解．
证明：当n为偶数时，设F_n（x）=e^-xf_n（x）=e^-x（1+

x

1!

+

x2

2!

+…+

xn

n!

）．
设n=2k（k∈N^*）则F_n′（x）=-e^-x•

1

(2k-1)!

x^2k-1，
当x＞0时，F_n′（x）＜0，当x＜0时，F_n′（x）＞0
∴F_n（x）在（-∞，0）上增，在（0，+∞）上减，
F_n（x）_max=F_n（0）=0，所以n为偶数时，F_n（x）=0无解，从而函数y=f_n（x）的图象与x轴无交点；．
再证n为奇数时，f_n（x）=0有唯一解
证明：设F_n（x）=e^-xf_n（x）=e^-x（1+

x

1!

+

x2

2!

+…+

xn

n!

）．
设n=2k+1（k∈N^*）则F_n′（x）=-e^-x•

1

2k!

x^2k＜0，
所以y=F_n（x）为R上的减函数，
而F（1）＞0，F（-1）＜0，
所以方程F_n（x）=0有唯一解，从而函数y=f_n（x）的图象与x轴有且只有一个交点．

点评：考查函数的单调性，考查函数的最值，本题解题的关键是应用函数的导函数求解，注意函数和方程之间的关系．