Question

（2012•闸北区一模）已知数列{a_n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N^*，有4Sn=(an+1)2，其中S_n表示数列{a_n}的前n项和．则

lim

n→∞

n

an

=（　　）

• A．0
• B．1
• C．

  1

  2

• D．2

Answer 1

分析：令n=1求出首项，然后根据4a_n=4S_n-4S_n-1进行化简得a_n-a_n-1=2，从而得到数列{a_n}是等差数列，直接求出通项公式即可；进而求出结论．

解答：解：∵4S₁=4a₁=（a₁+1）²，
∴a₁=1．当n≥2时，4a_n=4S_n-4S_n-1=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
∴2（a_n+a_n-1）=a_n²-a_n-1²，又{a_n}各项均为正数，
∴a_n-a_n-1=2．数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=2n-1．
∴

lim

n→∞

n

an

=

lim

n→∞

n

2n-1

=

lim

n→∞

1

2- 1 n

=

1

2

．
故选：C．

点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及数列的极限．解决本题的关键在于根据递推关系求出数列的通项．