Question

在平面直角坐标系中，椭圆C：（a＞b＞0），圆O：x²+y²=a²，且过点A（，0）所作圆的两条切线互相垂直．
（Ⅰ）求椭圆离心率；
（Ⅱ）若直线y=2与圆交于D、E；与椭圆交于M、N，且DE=2MN，求椭圆的方程；
（Ⅲ）设点T（0，3）在椭圆内部，若椭圆C上的点到点P的最远距离不大于5，求椭圆C的短轴长的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）由条件：过点A（，0）作圆的两切线互相垂直，
∴OA=a，即：=a，
∴e=．（3分）
（Ⅱ）∵e=，
∴a²=2c²，a²=2b²，
∴椭圆C：．（5分）
得x²=a²-12，
∴DE=2，
得x²=2b²-24，
∴MN=，（7分）
由DE=2MN，得：a²-12=4（2b²-24），
∴2b²-12=4（2b²-24），
解得：b²=14，a²=28，
∴椭圆方程为：．（9分）
（Ⅲ）∵点T（0，3）在椭圆内部，∴b＞3，
设P（x，y）为椭圆上任一点，则
PT²=x²+（y-3）²=2b²-2y²+（y-3）²
=-（y+3）²+2b²+18，其中，-b＜y＜b，（12分）
∵b＞3，∴-b＜-3，
∴当y=-3时，PT²的最大值2b²+18．（14分）
依题意：PT≤5，∴PT²≤50，
∴2b²+18≤50，∴0＜b≤4，
又∵b＞3，∴3＜b≤4，即6＜2b≤8，
∴椭圆C的短轴长的取值范围6＜b≤8．（16分）
分析：（Ⅰ）由过点A（，0）作圆的两切线互相垂直，知OA=a，由此能求出椭圆离心率．
（Ⅱ）由e=，知椭圆C：．由得x²=a²-12，所以DE=2，由得x²=2b²-24，所以MN=，由DE=2MN，得：a²-12=4（2b²-24）．由此能求出椭圆方程．
（Ⅲ）由点T（0，3）在椭圆内部，知b＞3．设P（x，y）为椭圆上任一点，则PT²=x²+（y-3）²=2b²-2y²+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，其中，-b＜y＜b．由此入手能够求出椭圆C的短轴长的取值范围6＜b≤8．
点评：本题考查椭圆的离心率和椭圆方程的求法，求椭圆的短轴长的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．