Question

已知f（x）=

3

sinωx-2sin²

ωx

2

（ω＞0）的最小正周期为3π．
（Ⅰ）当x∈[

π

2

，

3π

4

]时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）在△ABC，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

Answer 1

分析：先利用二倍角公式的变形形式及辅助角公式把函数化简为y=2sin（ωx+

π

6

）-1，根据周期公式可求ω，进而求f（x）
（I）由x的范围求出

2

3

x+

π

6

的范围，结合正弦函数的图象及性质可求
（II）由f(C)=2sin(

2C

3

+

π

6

)-1及f（C）=1可得，sin(

2C

3

+

π

6

)=1，结合已知C的范围可求C及 A+B，代入2sin²B=cosB+cos（A-C），整理可得关于 sinA的方程，解方程可得

解答：解：f(x)=

3

sin(?x)-2•

1-cos(?x)

2

=

3

sin(?x)+cos(?x)-1=2sin(?x+

π

6

)-1
依题意函数f（x）的最小正周期为3π，即

2π

?

=3π，解得?=

2

3

，
所以f(x)=2sin(

2

3

x+

π

6

)-1
（Ⅰ）由

π

2

≤x≤

3π

4

得

π

2

≤

2

3

x+

π

6

≤

2π

3

，
所以，当sin(

2

3

x+

π

6

)=

3

2

时，f(x)最小值=2×

3

2

-1=

3

-1
（Ⅱ）由f(C)=2sin(

2C

3

+

π

6

)-1及f（C）=1，得sin(

2C

3

+

π

6

)=1
而

π

2

≤

2

3

C+

π

6

≤

2π

3

，所以

2

3

C+

π

6

=

π

2

，解得C=

π

2

在Rt△ABC中，∵ A+B=

π

2

，2sin²B=cosB+cos（A-C）2cos²A-sinA-sinA=0，
∴sin²A+sinA-1=0，解得sinA=

-1± 5

2

∵0＜sinA＜1，∴ sinA=

5 -1

2

点评：以三角形为载体，综合考查了二倍角公式的变形形式，辅助角公式在三角函数化简中的应用，考查了三角函数的性质（周期、单调区间、最值取得的条件）时常把ωx+φ作为一个整体．