Question

已知向量

a

=（cos⁴x-sin⁴x，2sinx），

b

=（1，-cosx），函数f（x）=

2

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的对称中心；
（2）作出函数f（x）在区间[0，π]上的图象．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数图象的作法

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）由向量和三角函数运算可得f（x）=2cos（2x+

π

4

），令2x+

π

4

=kπ+

π

2

，解x可得对称中心；
（2）由（1）列出特殊点，描点可得．

解答： 解：（1）∵

a

=（cos⁴x-sin⁴x，2sinx），

b

=（1，-cosx），
∴f（x）=

2

a

•

b

=

2

（cos⁴x-sin⁴x）-2

2

sinxcosx
=

2

cos2x-

2

sin2x=2cos（2x+

π

4

），
令2x+

π

4

=kπ+

π

2

，解得x=

kπ

2

+

π

8

，
∴函数f（x）的对称中心为（

kπ

2

+

π

8

，0），k∈Z；
（2）由（1）知f（x）=2cos（2x+

π

4

），
可得f（0）=

2

，f（

π

8

）=0，f（

3π

8

）=-2，
f（

5π

8

）=0，f（

7π

8

）=2，f（π）=

2

∴函数f（x）在区间[0，π]上的图象如下图所示：

点评：本题考查平面向量和三角函数的结合，涉及三角函数的对称性以及五点作图，属中档题．