分析 (1)通过设抛物线方程为x2=2py,利用抛物线定义可知p=2,进而可得抛物线方程,通过将点M(a,4)代入抛物线方程可知a=±4;
(2)通过设交点A(x1,y1)、B(x2,y2),利用${{{x}_{1}}^{2}=4y}_{1}$与${{x}_{2}}^{2}=4{y}_{2}$作差,结合中点坐标公式可知直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$,利用点斜式可得弦所在直线,进而利用韦达定理及两点间距离公式计算即得弦长.
解答 解:(1)依题意,设抛物线方程为:x2=2py,
又∵4+$\frac{p}{2}$=5,即p=2,
∴抛物线的方程为:x2=4y,
又∵点M(a,4)在此抛物线上,
∴a2=16,a=±4;
(2)设交点为A、B,且A(x1,y1)、B(x2,y2),
由(1)可知,${{{x}_{1}}^{2}=4y}_{1}$、${{x}_{2}}^{2}=4{y}_{2}$,
两式相减得:(x1-x2)(x1+x2)=4(y1-y2),
∵直线AB的斜率存在,且点P为AB的中点,
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$,
于是该弦所在的直线方程为:y-4=$\frac{1}{2}$(x-1),
联立直线与抛物线方程,整理得:x2-2x-14=0,
∴x1x2=-14,
于是|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{{2}^{2}+4×14}$
=5$\sqrt{3}$.
点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,涉及中点坐标公式、韦达定理、两点间距离公式等基础知识,注意解题方法的积累,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2 | B. | $2\sqrt{2}$ | C. | 6 | D. | 4 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{5}{2}$ | B. | 5 | C. | 10 | D. | $\frac{5}{4}$ |
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