精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠ABC=90°,AB=BC=BB1=2,M,N分别是AB,A1C的中点.
(1)求直线MN与平面A1B1C所成的角;
(2)在线段AC上是否存在一点E,使得二面角E-B1A1-C的余弦值为
3
10
10
?若存在,求出AE的长,若不存在,请说明理由.
分析:(1)分别B1A1、B1C1、B1B为x、y、z轴,建立空间直角坐标系B1-xyz,如图所示.算出B1、C、A1、B的坐标,从而得到M、A、C、N各点的坐标,得
B1C
MN
B1A1
的坐标,进而算出
NM
B1C
=0
NM
B1A1
=0
,利用线面垂直的判定定理得到MN⊥平面A1B1C,即MN与平面A1B1C所成的角为90°;
(2)设E(x,y,z)且
AE
AC
,可得
B1E
=(2-2λ,2λ,2),利用垂直向量数量积为零的方法算出平面A1B1E的一个法向量为
α
=(0,-
1
λ
,1).平面A1B1C的法向量为
MN
=(0,1,-1),由二面角E-B1A1-C的余弦值为
3
10
10
利用空间向量的夹角公式,建立关于λ的方程解出λ=
1
2
得到AE=
2
,从而得出存在满足条件的点E.
解答:解:(1)分别B1A1、B1C1、B1B为x、y、z轴,建立空间直角坐标系B1-xyz,如图所示
可得B1(0,0,0),C(0,2,2),A1(2,0,0),B(0,0,2),
则M(1,0,2),A(2,0,2),C(0,2,2),N(1,1,1)------------(2分)
B1C
=(0,2,2),
MN
=(0,1,-1),
B1A1
=(2,0,0)
NM
B1C
=0
,且
NM
B1A1
=0
,--------(4分)
∴MN⊥B1C,MN⊥B1A1
结合B1C∩B1A1=B1,可得MN⊥平面A1B1C
即MN与平面A1B1C所成的角为90°.-----------------(5分)
(2)设E(x,y,z),且
AE
AC
,--------------(6分)
则(x-2,y,z-2)=λ(-2,2,0)
解之得x=2-2λ,y=2λ,z=2,
B1E
=(2-2λ,2λ,2)-------(7分)
由(1)可知:平面A1B1C的法向量为
MN
=(0,1,-1),
设平面A1B1E的法向量为
α
=(m,n,p)

α
A1B1
=0且
α
B1E
=0

则可解得
α
=(0,-
1
λ
,1),----------------(9分)
|-
1
λ
-1|
1
λ2
+1
2
=
3
10
10
,可得2λ2-5λ+2=0,解之得λ=
1
2
或2-------(11分)
由于点E在线段上,所以λ=
1
2
,此时AE=
2

即在线段AC上存在一点E,当AE的长为
2
时,二面角E-B1A1-C的余弦值为
3
10
10
.---------(12分)
点评:本题利用空间坐标系,证明了直线与平面所成角并探索二面角的大小问题.着重考查了线面垂直的判定定理和利用空间向量研究二面大小等知识点,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B是边长为2的正方形,点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点,且CH=
3
,设D为CC1中点,
(Ⅰ)求证:CC1⊥平面A1B1D;
(Ⅱ)求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网
如图(1)是一个水平放置的正三棱柱ABC-A1B1C1,D是棱BC的中点.正三棱柱的主视图如图(2).
(Ⅰ) 图(1)中垂直于平面BCC1B1的平面有哪几个?(直接写出符合要求的平面即可,不必说明或证明)
(Ⅱ)求正三棱柱ABC-A1B1C1的体积;
(Ⅲ)证明:A1B∥平面ADC1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=
6
,M是棱CC1的中点,
(1)求证:A1B⊥AM;
(2)求直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=A1A,AC=BC,点D、E分别为C1C、AB的中点,O为A1B与AB1的交点.
(Ⅰ)求证:EC∥平面A1BD;
(Ⅱ)求证:AB1⊥平面A1BD.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:湖北省部分重点中学2010届高三第一次联考 题型:解答题

 

        如图所示,在正三棱柱ABC—A11C1中,BB1=BC=2,且M是BC的中点,点N在CC1上。

 
   (1)试确定点N的位置,使AB1⊥MN;

   (2)当AB1⊥MN时,求二面角M—AB1—N的大小。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

查看答案和解析>>

同步练习册答案