Question

在△ABC中，已知角A、B、C．所对的边分别是a、b、c，边c=

7

2

，且tanA+tanB=

3

-

3

tanA．tanB，又△ABC的面积为S△ABC=

3 3

2

，求a+b的值．

Answer 1

分析：将已知等式tanA+tanB=

3

-

3

tanAtanB变形后，利用两角和与差的正切函数公式及诱导公式化简，求出tanC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，进而确定出sinC与cosC的值，由已知的面积及sinC的值，利用三角形的面积公式求出ab的值，再由c及cosC的值，利用余弦定理及完全平方公式列出关系式，将ab的值代入，开方即可求出a+b的值．

解答：解：∵tanA+tanB=

3

-

3

tanAtanB，
∴

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

3

，即tan（A+B）=

3

，
∴tan（π-C）=

3

，即tanC=-

3

，
∵C为三角形的内角，
∴C=

2π

3

，
∵S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

ab×

3

2

=

3 3

2

，∴ab=6，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：（

7

2

）²=a²+b²-2abcos

2π

3

，
∴a²+b²+ab=（a+b）²-ab=（a+b）²-6=

49

4

，即（a+b）²=

73

4

，
∵a+b＞0，
∴a+b=

73

2

．

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，三角形的面积公式，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．