Question

13．讨论三次方程x³-9x-a=0解的个数，其中a为常数．

Answer 1

分析 三次方程x³-9x-a=0解的个数等价于y=x³-9x和y=a的图象交点个数，导数法作出函数的图象数形结合可得．

解答 解：三次方程x³-9x-a=0解的个数等价于y=x³-9x和y=a的图象交点个数，
研究函数y=x³-9x，求导数可得y′=3x²-9=3（x+$\sqrt{3}$）（x-$\sqrt{3}$），
当x＜$-\sqrt{3}$时，y′＞0，函数单调递增，
当-$\sqrt{3}$x＜$\sqrt{3}$时，y′＜0，函数单调递减，
当x＞$\sqrt{3}$时，y′＞0，函数单调递增，
由可求得当x=-$\sqrt{3}$时，函数取极大值y=6$\sqrt{3}$，
当x=$\sqrt{3}$时，函数取极小值y=-6$\sqrt{3}$，
结合函数y=x³-9x为R上的奇函数且过点（-3，0）和（3，0）作图分析可得：
当a＜-6$\sqrt{3}$或a＞6$\sqrt{3}$时，函数图象与y=a有1个交点，原方程有1个解；
当a=-6$\sqrt{3}$或a=6$\sqrt{3}$时，函数图象与y=a有2个交点，原方程有2个解；
当-6$\sqrt{3}$＜a＜6$\sqrt{3}$时，函数图象与y=a有3个交点，原方程有3个解．

点评 本题考查根的存在性及个数的判断，转化为函数图象的交点个数并用导数法画出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．