Question

已知 f（x）为R上的可导函数，且f（x）＜f'（x）和f（x）＞0对于x∈R恒成立，则有（　　）

• A、f（2）＜e²-f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰-f（0）
• B、f（2）＞e²-f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰-f（0）
• C、f（2）＜e²-f（0），f（2010）＜e²⁰¹⁰-f（0）
• D、f（2）＜e²-f（0），f（2010）＜e²⁰¹⁰-f（0）

Answer 1

分析：先构造函数y=

f(x)

ex

，对该函数进行求导，化简变形可判定导函数的符号，再判断增减性，从而得到答案．

解答：解：∵f（x）＜f'（x） 从而 f'（x）-f（x）＞0 从而

ex[f′(x)-f(x)]

e2x

＞0
从而 (

f(x)

ex

)′＞0 从而函数y=

f(x)

ex

单调递增，故 x=2时函数的值大于x=0时函数的值，
即

f(2)

e2

＞f(0)所以f（2）＞e²f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰f（0）．
故选B．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．