Question

设{a_n}是一个公差为d（d≠0）的等差数列，它的前n项和为S_n，S₁₀=110且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（Ⅰ）证明a₁=d；
（Ⅱ）求公差d的值和数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设bn=

1

Sn

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁，a₂，a₄成等比数列，可得

a

2 2

=a₁a₄，再由{a_n}是等差数列，可得a₂=a₁+d，a₄=a₁+3d，代入化简可得；（Ⅱ）由等差数列的求和公式代入已知条件可得d的值，进而可得a₁的值，可得通项公式，进而可得前n项和；（ III）可得bn=

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，裂项相消法可得其和．

解答：解：（Ⅰ）因a₁，a₂，a₄成等比数列，故

a

2 2

=a₁a₄，
又∵{a_n}是等差数列，有a₂=a₁+d，a₄=a₁+3d，
∴（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），

a

2 1

+2a₁d+d²=

a

2 1

+3a₁d，
化简可得d²=a₁d，又∵d≠0，解得a₁=d
（Ⅱ）由等差数列的求和公式可得S₁₀=10a₁+

10×9

2

d，
化简可得10a₁+45d=110，把a₁=d代入上式得55d=110，
解得d=2，∴a₁=2，∴a_n=a₁+（n-1）d=2n．
∴Sn=

n(2+2n)

2

=n2+n
（ III）由（Ⅱ）得bn=

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=b1+b2+…+bn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

，即Tn=

n

n+1

点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及裂项相消法求数列的和，属中档题．