【题目】已知.
(1)当时,判断
在
的单调性,并用定义证明;
(2)若对
恒成立,求
的取值范围;
(3)讨论的零点的个数.
【答案】(1)减函数,证明详见解析; (2);(3)详见解析
【解析】
试题(1)当时,利用函数单调性的定义即可判断
在
的单调性,并用定义证明.
(2)利用参数分离法将不等式恒成立,转化为
,求出
的最大值即可;
(3)将函数零点个数转化为方程解的个数,再转化为直线
与
的图象的交点个数,运用数形结合思想求解.
试题解析:(1)当,且
时,
为减函数.
证明:设,则
,又
,所以
,
,所以
,所以
,所以
,故当
,且
时,
为减函数.
(2)由得
,变形为
,即
,而
,当
,即
时,
,所以
.
(3)由可得
,变形为
,令
,作出
的图象及直线
,由图象可得:当
或
时,
有
个零点.当
或
或
时,
有
个零点;当
或
时,
有
个零点.
点晴:本题考查函数与单调性.确定零点的个数问题,可利用数形结合的办法判断交点个数,方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题,往往可利用参变分离的方法,转化为求函数最值处理.注意利用数形结合的数学思想方法.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒,以防止害虫的危害,但蔬菜上市时蔬菜仍存有少量的残留农药,食用时需要用清水清洗干净,下表是用清水(单位:千克)清洗蔬菜1千克后,蔬菜上残留的农药
(单位:微克)的统计表:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
58 | 54 | 39 | 29 | 10 |
(1)在答题纸的坐标系中,描出散点图,并判断变量与
是正相关还是负相关;
(2)若用解析式作为蔬菜农药残量
与用水量
的回归方程,令
,计算平均值
与
,完成以下表格(填在答题卡中),求出
与
的回归方程.(
,
保留两位有效数字):
1 | 4 | 9 | 16 | 25 | |
58 | 54 | 39 | 29 | 10 | |
(3)对于某种残留在蔬菜上的农药,当它的残留量低于20微克时对人体无害,为了放心食用该蔬菜,请评估需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜?(精确到0.1,参考数据)(附:对于一组数据
,
,……,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为:
,
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,EF∥BC,AE =
,G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF.
(1)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为,求
的最大值;
(2)当 取得最大值时,求二面角D-BF-C的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】片森林原来面积为a,计划每年砍伐森林面积是上一年末森林面积的p%,当砍伐到原来面积的一半时,所用时间是10年,已知到今年末为止,森林剩余面积为原来面积的,为保护生态环境,森林面积至少要保留原来面积的
.
(1)求每年砍伐面积的百分比p%;
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
(3)今年以后至多还能再砍伐多少年?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)= ,曲线y=f(x)在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行.
(1)若函数g(x)= f(x)﹣ax在(1,+∞)上是减函数,求实数a的最小值;
(2)若函数F(x)=f(x)﹣ 无零点,求k的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在直角坐标系xOy中,角α的顶点是原点,始边与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且.将角α的终边按逆时针方向旋转
,交单位圆于点B.记A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ)若,求x2;
(Ⅱ)分别过A,B作x轴的垂线,垂足依次为C,D.记△AOC的面积为S1,△BOD的面积为S2.若S1=2S2,求角α的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是 .
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