Question

16．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D中，直线A₁D与平面AB₁C₁D所成的角为30度．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A₁D与平面AB₁C₁D所成的角的大小．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D棱长为1，
则A₁（1，0，1），D（0，0，0），A（1，0，0），C₁（0，1，1），
$\overrightarrow{DA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），
设平面AB₁C₁D的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=y+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
设直线A₁D与平面AB₁C₁D所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}D}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}D}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{{A}_{1}D}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=30°．
∴直线A₁D与平面AB₁C₁D所成的角为30°．
故答案为：30°．

点评 本题考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．